定理

在四边形 $ABCD$ 中，记 $|AB| = a, |BC| = b, |CD| = c, |DA| = d$, 再记半周长 $p = \dfrac{a + b + c + d}{2}$. 则四边形 $ABCD$ 的面积为$$ \sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d) - abcd \cos^2 \dfrac{A + C}{2}} $$

证明. 连接 $B, D$, 则$$ Area = \dfrac{1}{2} ad \sin A + \dfrac{1}{2} bc \sin C $$

因此$$ \begin{align} 4Area^2 & = a^2d^2 \sin^2 A + b^2c^2 \sin^2 C + 2abcd \sin A \sin C \notag \ & = a^2d^2 + b^2c^2 - a^2d^2 \cos^2 A - b^2c^2 \cos^2 C + 2abcd \sin A \sin C\end{align} $$

在 $\triangle ABD, \triangle BCD$ 中用余弦定理得$$ a^2 + d^2 - 2ad \cos A = |BD|^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos C $$

因此$$ a^2d^2 \cos^2 A + b^2c^2 \cos^2 C = \dfrac{1}{4} (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2 + 2abcd \cos A \cos C $$

代入得$$ \begin{align*} 16Area^2 & = 4a^2d^2 + 4b^2c^2 - \left( a^2 + d^2 - b^2 - c^2 \right)^2 - 8abcd(\cos A \cos C - \sin A \sin C) \ & = 4a^2d^2 + 4b^2c^2 - \left( a^2 + d^2 - b^2 - c^2 \right)^2 - 8abcd \cos (A + C) \ & = 4a^2d^2 + 4b^2c^2 + 8abcd - \left( a^2 + d^2 - b^2 - c^2 \right)^2 - 16abcd \cos^2 \dfrac{A + C}{2} \ & = \left( 2ad + 2bc \right)^2 - \left( a^2 + d^2 - b^2 - c^2 \right)^2 - 16abcd \cos^2 \dfrac{A + C}{2} \ & = \left( 2ad + 2bc + a^2 + d^2 - b^2 - c^2 \right) \left( 2ad + 2bc - a^2 - d^2 + b^2 + c^2 \right) - 16abcd \cos^2 \dfrac{A + C}{2} \ & = \left( (a + d)^2 - (b - c)^2 \right) \left( (b + c)^2 - (a - d)^2 \right) - 16abcd \cos^2 \dfrac{A + C}{2} \ & = (a + b + c - d)(b + c + d - a)(c + d + a - b)(d + a + b - c) - 16abcd \cos^2 \dfrac{A + C}{2} \ & = 16(p - a)(p - b)(p - c)(p - d) - 16abcd \cos^2 \dfrac{A + C}{2} \ & = 16 \left( (p - a)(p - b)(p - c)(p - d) - abcd \cos^2 \dfrac{A + C}{2} \right)\end{align*} $$

故 $Area = \sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d) - abcd \cos^2 \dfrac{A + C}{2}}$.

注记

1. 由 $A + B + C + D = 2 \pi$ 知 $\cos^2 \dfrac{A + C}{2} = \cos^2 \dfrac{B + D}{2}$, 因此还有$$ Area = \sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d) - abcd \cos^2 \dfrac{B + D}{2}} $$
2. $Area$ 的最大值为 $\sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}$, 当且仅当 $A, B, C, D$ 四点共圆时取等.

定义

方程 $z^n - 1 = 0$ 的根称为 $n$ 次单位根 (Roots of unity).

易知 $n$ 次单位根有互不相同的 $n$ 个,分别为 $\cos \frac{2k\pi}{n} + i \sin \frac{2k\pi}{n}, k = 0, 1, \cdots, n-1$.

命题

设 $\xi = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}$ 为 $n$ 次单位根,则$$1 + \xi^m + \xi^{2m} + \cdots + \xi^{(n-1)m} =\begin{cases} n, & n \mid m; \ 0, & n \nmid m.\end{cases}$$

证明

当 $n \mid m$ 时,有 $\xi^m = 1$,故原式 $= n$.

当 $n \nmid m$ 时,有 $\xi^m \neq 1$,故原式为等比数列和：$$\text{原式} = \frac{1 - (\xi^m)^n}{1 - \xi^m} = 0$$

Filter

定理

设 $\xi = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}$ 为 $n$ 次单位根,多项式 $F(x) = a_0 + a_1x + a_2 x^2 + \cdots$ (有限多项),则$$a_0 + a_n + a_{2n} + \cdots = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} F(\xi^k)$$

证明

易知右端每个 $a_m$ 的系数为$$\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} (\xi^k)^m =\begin{cases} 1, & n \mid m; \ 0, & n \nmid m.\end{cases}$$故右端即为左端.

这个定理可以帮我们 “filter” 出那些下标被 $n$ 整除的项的系数和,运用单位根的运算性质.这个定理就被我们称为 “Roots of Unity Filter”.它也可以用于求解数列中相应项之和,只要运用生成函数 (Generating Function) 的技术.有关生成函数的理解可以看这个视频 (BV1QM411A73c)

笔者没有找到 “Roots of Unity Filter” 的中文名称,直接翻译可能类似 “单位根过滤器”,但中文互联网上没有查找到相应结果.中文 OI(信息学竞赛) 社区中有 “单位根反演” 的说法,指代的算法类似于我们上面所说的定理.一篇文章给出其英文名为 “unit root inversion”,但英文互联网中也没有相应结果. 那我们还是称其为 “Roots of Unity Filter” 吧.

推论

设 $r \in [1, n - 1]$, $G(x) = x^rF(x)$, 则$$a_{n - r} + a_{2n - r} + \cdots = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} G(\xi^k)$$

这个推论的证明十分简单,我们把它留给读者思考.

注记

用哪个单位根？ 上面我们只使用了 $n$ 个单位根中的一个 $\xi = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}$.事实上,对于任何一个与 $n$ 互素的正整数 $k$, 使用 $\xi^k$ 也可行. 但我们仍推荐使用 $\xi$.我从未见过任何一个问题,其中 $\xi^k$ 可行而 $\xi$ 不可行.

更深入地讲,当 $(n, k) = 1$ 时,${ \xi^k, (\xi^k)^2, \cdots, (\xi^k)^{n - 1} }$为 ${ \xi, \xi^2, \cdots, \xi^{n - 1} }$ 的一个排列,因此我们可以说二者没有区别.

一些题目

练习 1

设 $\binom{n}{k}$ 为二项式系数,求 $\binom{2026}{0} + \binom{2026}{3} + \binom{2026}{6} + \cdots + \binom{2026}{2025}$.

提示 取 $F(x) = (1 + x)^{2026}$, 用三次单位根 filter.

练习 2

一个班级中有 $a$ 个男生,$b$ 个女生. 现在要在其中选出若干同学组成一个代表团,要求男生数与女生数之差为 4 的倍数,共有多少种满足条件的选法？

解答 设 $F(x) = (1 + x)^a (1 + y)^b$, 易知其展开式中 $x^my^n$ 项的系数 (记为 $c_{mn}$) 即为选取 $m$ 个男生与 $n$ 个女生的方法数.我们要对满足 $4 \mid m - n$ 的 $c_{mn}$ 求和,但 $c_{00} = 1$ 除外.令 $G(x) = F(x, \frac{1}{x})$, 则 $F(x, y)$ 中的 $x^my^n$ 项变为 $G(x)$ 中的 $x^{m - n}$ 项. 于是对 $G(x)$ 用四次单位根 filter 即可.

接下来这道题为刚结束的 2026 年中科大少年班入围考试数学测试倒数第 2 题.

练习 3

用 3 种颜色为 $n$ 边形染色,要求相邻顶点颜色不同,有多少种不同的染色方法？

解答 将三种颜色编号为 0, 1, 2, 则相邻顶点颜色编号之差 (模 3 取余) 只能为 1, 2.

设 $n$ 个顶点颜色分别为 $s_1, s_2, \cdots, s_n$, 相邻顶点颜色之差分别为 $d_1, d_2, \cdots, d_n$,
其中 $s_{i + 1} \equiv s_i + d_i \pmod{3}, i = 1, 2, \cdots, n - 1$, 且 $s_1 \equiv s_n + d_n \pmod{3}$.

令 $F(x) = (x + x^2)^n$, 则其展开式中 $x^n$ 项的系数即为满足 $d_1 + d_2 + \cdots + d_n \equiv n \pmod{3}$ 的选法数.由题意知 $3 \mid n$ (因为 $n$ 个顶点转一圈回到原处). 于是对$F(x)$ 用 3 次单位根 filter,这样就得到了满足 $3 \mid d_1 + d_2 + \cdots + d_n$ 的方法数.

再给所得的系数和乘 3, 因为第一个顶点有 3 种颜色可选.

Theorem

设三角形 $ABC$ 三边长为 $a, b, c$, 设 $x, y, z$ 满足$$\begin{cases} x + y = a^2 \ y + z = b^2 \ z + x = c^2\end{cases}$$

则 $Area = \frac{1}{2} \sqrt{xy + yz + zx}$.

proof. 由题意知$$\begin{cases} x = \frac{1}{2}(c^2 + a^2 - b^2) \ y = \frac{1}{2}(a^2 + b^2 - c^2) \ z = \frac{1}{2}(b^2 + c^2 - a^2)\end{cases}$$

因此$$\begin{align*} & \frac{1}{2} \sqrt{xy + yz + zx} \ & = \frac{1}{4} \sqrt{(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) + (a^2 + b^2 - c^2)(b^2 + c^2 - a^2) + (b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)} \ & = \frac{1}{4} \sqrt{a^4 - (b - c)^2 + b^4 - (c - a)^2 + c^4 - (a - b)^2} \ & = \frac{1}{4} \sqrt{2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4} \ & = \frac{1}{4} \sqrt{(a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c)} \ & = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \ & = Area\end{align*}$$

最后一步运用了海伦公式.

Remark

由余弦定理知$$\begin{cases} x = ac \cos B = \vec{BA} \cdot \vec{BC} \ y = ab \cos C = \vec{CA} \cdot \vec{CB} \ z = bc \cos A = \vec{AB} \cdot \vec{AC}\end{cases}$$

于是知$$Area = \frac{1}{2} \sqrt{(\vec{BA} \cdot \vec{BC})(\vec{CA} \cdot \vec{CB})

• (\vec{CA} \cdot \vec{CB})(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) + (\vec{AB} \cdot \vec{AC})(\vec{BA} \cdot \vec{BC})}$$

过两直线交点 $O$ 的直线的方程为$$l: \lambda (A_1x + B_1y + C_1) + \mu (A_2x + B_2y + C_2) = 0,$$这个方程称为过两直线 $l_1, l_2$ 交点的共点直线系方程. 考虑 $l$ 不与 $l_1, l_2$ 重合的情形，此时 $\lambda, \mu \neq 0$.

设 $l$ 与 $l_1, l_2$ 的夹角为 $\alpha, \beta$, 设 $l$ 上一点 $P$ 到 $l_1, l_2$ 的距离分别为 $d_1, d_2$, 则有$$d_1 = OP \cdot \sin \alpha, \qquad d_2 = OP \cdot \sin \beta.$$因此 $\dfrac{d_1}{d_2} = \dfrac{\sin \alpha}{\sin \beta}$ 为定值.

设 $P(x_0, y_0)$, 则$$\lambda (A_1x_0 + B_1y_0 + C_1) + \mu (A_2x_0 + B_2y_0 + C_2) = 0$$因此$$|\lambda| \cdot |A_1x_0 + B_1y_0 + C_1| = |\mu| \cdot |A_2x_0 + B_2y_0 + C_2|$$又因为$$A_1^2 + B_1^2 = A_2^2 + B_2^2$$由点到直线的距离公式知$$|\lambda| , d_1 = |\mu| , d_2$$进而得到$$|\lambda| \sin \alpha = |\mu| \sin \beta$$

🎯 几何意义
共点直线系方程的几何意义就是：$l$ 分 $l_1, l_2$ 的夹角的正弦的比为 $\left|\dfrac{\mu}{\lambda}\right|$.

💡 Remark
注意到，满足 $|\lambda| \sin \alpha = |\mu| \sin \beta$ 的直线有两条，分别穿过 $l_1$ 与 $l_2$ 所夹的锐角与钝角.

直陈式现在时(présent de l’indicatif)中的 être 与 avoir

être

être 的变位

Tip

否定结构为: ne + 动词 + pas

用法:

• 职业
  • Je suis professeur. 我是老师.
  • Nous sommes commerçants. 我们是商人.

    Attention

    Je suis un ingénieur.

• 国籍
  • Je suis français. 我是法国人.
  • Est-ce qu’elle est hongroise? 她是匈牙利人吗? - Ils ne sont pas espagnols. 他们不是西班牙人.
  • On est italien(s). 我们是意大利人.
• 品质或缺点
  • Il est patient. 他有耐心.
  • Elle est intelligente. 她很聪明.
  • Ils sont jaloux. 他们嫉妒心强.
• 状况,状态
  • Est-ce qu’il est là? 他在那儿吗?
  • On est libre(s). 我们有空.
  • Nous ne sommes pas mariés. 我们没结婚.
  • Il est divorcé. 他离婚了.
  • Vous êtes en avance. 您提前到了.

avoir

avoir 的变位

Tip

否定句中, un/une/des 变为 pas de/d’

Tip

je + a, e, i, o, u, y, h = j’a, e, i, o, u, y, hne + a, e, i, o, u, y, h = n’a, e, i, o, u, y, h

用法:

• 实物
  • Est-ce que vous avez une voiture? 您有车吗?
  • Non, je n’ai pas de voiture. 不,我没有车.
• 人
  • Est-ce qu’elle a des enfants? 她有孩子吗?
  • Oui, elle a deux enfants. / Non, elle n’a pas d’enfants.
  • Nous avons un bon professeur. 我们有个好老师.
• 抽象概念
  • J’ai rendez-vous à 15 heures. 我下午三点有约会.
  • Il a faim. 他饿了.
  • Nous avons de la chance! 我们真幸运!
  • On a une réunion. 我们有个会议.
• 年龄
  • Quel âge avez-vous? 您多大年纪?
  • J’ai 43 ans. 我 43 岁.
  • Quel âge il a? 他几岁?
  • Il a 6 ans. 他 6 岁.

Il y a 与 C’est (+形容词)

Il y a / Il n’y a pas de …

• Il y a un bon film à la télévision. 电视上有一部好电影.
• Il n’y a pas de problème! 没有问题!

C’est / Ce n’est pas

• C’est mercredi soir. 现在是周三晚上.
• Paris, c’est grand. 巴黎很大.
• Ce n’est pas joli. 这不漂亮.
• La capitale de la Slovaquie, c’est Bratislava. Slovaquie 的首都是 Bratislava.

Tip

使用 c’est 结构时, 后面的形容词应为阳性单数形式.

问答句型:

• Qu’est-ce que c’est? C’est / Ce n’est pas / Ce sont / Ce ne sont pas ..
• Qui est-ce? C’est qui? C’est / Ce sont …

Remark

• “C’est”表达身份(c’est un ami, c’est Paul)或评论(c’est facile).

• “Il y a”表达存在,出现或位置(Il y a une pharmacie ici = une pharmacie existe ici)

形容词的形式

intelligent 的变形:

Tip

以 -e 结尾的形容词阴性不变.

Il est malade, elle est malade.

不规则形容词:

• Il est beau, elle est belle, ils sont beaux, elles sont belles.
• Il est nouveau, elle est nouvelle, ils sont nouveaux, elles sont nouvelles.
• Il est vieux, elle est vieille, ils sont vieux, elles sont vieilles.

形容词的位置

• 一般放在名词后
  • une voiture confortable
  • un film extraordinaire
• 国籍与颜色在名词后
  • un auteur allemand
  • un stylo bleu
• 常用的在名词前: bon, mauvais, petit, grand, beau, nouveau, jeune, vieux, …
  • une belle femme
  • un bon gâteau
  • une mauvaise idée

第一组动词的现在时(+疑问句)

以 -er 结尾的动词的现在时

trouver 的变位

Tip

• 形式 trouve(je 或 il), trouves(tu), trouvent(ils) 的发音没有区别.
• 形式 trouver, trouvez(vous) 的发音没有区别.

• aimer: j’aime, je n’aime pas
• habiter: j’habite, je n’habite pas

Tip

ne + 动词 + plus 表示“不再…”

Elle n’habite plus à Bordeaux. 她不再住在波尔多.

Remark

大部分动词都属于第一组.

现在时的用法

• 习惯性动作/规律性行为 Je travaille ici tous les jours. 我每天在这里工作.
• 当前正在进行的动作/暂时状态 Je travaille ici maintenant. 我现在在这里工作.

疑问句

• 用 Est-ce que …? 提问:
  • Est-ce que vous travaillez ici? Vous travaillez ici? Oui, je travaille ici. / Non, je ne travaille pas ici.
  • Est-ce qu’elle parle grec? Elle parle grec? Oui, elle parle grec. / Non, elle ne parle pas grec.
• 用 Qu’est-ce que …? 提问:
  • Qu’est-ce que tu regardes à la télévision? Je regarde un match.
  • Qu’est-ce qu’il mange? Il mange un sandwich.

Tip

que + a, e, i, o, u, y, h = qu’a, e, i, o, u, y, h

Remark

结构 “qu’est-ce que c’est?” 是正确的.不要说 “Qu’est-ce qu’est sa profession”, 应当说 “Quelle est sa profession?”, “Quel est son numéro de téléphone?”

faire 与 prendre 的现在时(+疑问句)

faire

faire 的变位

Tip

同样的变位: refaire, défaire.

用法:

• 运动/活动
  • Vous faites du sport? 您做运动吗?
  • Oui, je fais du jogging tous les dimanches. 是的,我每周日跑步.
  • Il fait du piano. 他弹钢琴.
• 家务
  • Je fais le ménage ce soir. 我今晚打扫卫生.
• 工作或任务
  • Ils font des travaux. 他们在干活.
  • Nous faisons les courses ensemble. 我们一起购物.
• 天气
  • Il fait beau. 天气好.
  • Il fait chaud dans cette salle. 这个房间很热.
  • En hiver, il fait froid. 冬天很冷.

prendre

prendre 的变位

Tip

同样的变位: apprendre, reprendre, comprendre.

用法:

• 交通工具
  • Il prend le bus, le métro, le train, l’avion, un taxi. 他坐公交,地铁,火车,飞机,出租车.
• 预约
  • Elle prend rendez-vous avec le médecin. 她和医生约了时间.
• 拍照
  • Je prends des photos de mon bébé. 我给我宝宝拍照.
• 上课
  • Les étudiants prennent des cours de français. 学生们上法语课.
• 点餐或吃东西
  • Vous ne prenez pas de dessert? 您不要甜点吗?
  • Si, je prends une tarte au citron. 要,我要一个柠檬塔.

Tip

“Si” 用于对否定问句作肯定回答.

疑问句

• 疑问词 + est-ce que + 动词
  • **Où est-ce qu’**ils habitent? 他们住在哪?
  • Ils habitent à Grenoble. 他们住在 Grenoble.
  • Pourquoi est-ce que vous faites des travaux? 你们为什么在施工?
  • Parce que c’est nécessaire. 因为有必要.
  • **Avec qui est-ce qu’**il travaille? 他和谁一起工作?
  • Il travaille avec François et Gérard. 他和 François 和 Gérard 一起工作.
  • Quand est-ce que vous faites du sport? 你们什么时候做运动?
  • Nous faisons du sport le samedi. 我们周六做运动.
• 疑问词+动词或动词+疑问词
  • Pourquoi vous prenez des cours? 你为什么上课?
  • Il travaille avec qui? 他和谁工作?
  • Il revient quand? 他什么时候回来?
  • Où ils habitent? 他们住在哪?

aller, venir 与 partir

aller

aller 的变位

用法:

• 去哪里
  • Où est-ce que vous allez? 你们要去哪里?
  • Nous allons en Lituanie, à Vilnius. 我们要去立陶宛, Vilnius.
  • Où est-ce qu’ils vont? 他们要去哪里?
  • Ils vont au cinéma. 他们去看电影.
• 问候语/状态询问
  • Comment allez-vous? 您好吗?
  • Je vais bien, merci. 我很好,谢谢.
  • Comment ça va? 怎么样?
  • Ça va bien! 很好!
  • Oui, ça va. 是的,还行.
  • Non, ça ne va pas bien. 不,不太好.

venir

venir 的变位

Tip

同样的变位: revenir

Tip

动词最后的 “-ent” 不发音.

用法:

• Tu viens? 你来吗?
• Vous venez avec nous? 你和我们一起走吗?
• Il vient avec sa femme. 他和他妻子一起来.

partir

partir 的变位

Attention

不要说 “Je vais.”, 应当说 “Je pars.”

用法:

• Vous partez? 您要走了吗?
• Oui, je pars en voyage, en vacances. 是的,我假期里要去旅行.
• Comment est-ce que vous partez? 你们怎么出发?
• Nous partons en train. 我们坐火车出发.
• Avec qui est-ce que tu pars? 你和谁一起走?
• Je pars avec un ami. 我和一个朋友一起走.
• À quelle heure est-ce qu’ils partent? 他们几点出发?
• Ils partent à 18 heures. 他们下午六点出发.

pouvoir, vouloir 与 devoir 的现在时

pouvoir

pouvoir 的变位

Tip

如果第一个动词已变位,第二个动词用不定式.

用法:

• 请求与给予许可
  • Maman, est-ce que je peux aller chez Vincent? 妈妈,我可以去 Vincent 家吗?
  • Oui, tu peux aller chez Vincent. 可以.
  • Non, tu ne peux pas aller chez Vincent. 不行.
  • Nous pouvons entrer? 我们可以进来吗?
  • Oui, bien sûr, vous pouvez entrer. 当然可以.
  • Non, vous ne pouvez pas entrer, c’est interdit. 不行,禁止入内.
• 请求别人做某事
  • Tu peux venir avec moi? 你能跟我来吗?
  • Est-ce que vous pouvez répéter lentement, s’il vous plaît? 您能慢点重复一遍吗?

vouloir

vouloir 的变位

用法:

• 提议
  • Vous voulez un café? 您要杯咖啡吗?
  • Tu veux aller au cinéma? 你想去看电影吗?
• 表达愿望
  • Elle veut étudier l’espagnol. 她想学西班牙语.
  • Nous ne voulons pas quitter Prague. 我们不想离开 Prague.

Attention

不要说 “je veux un café”, 要说 “je voudrais un café”.

devoir

devoir 的变位

表达义务或责任:

• Nous devons réserver des billets de train. 我们必须预定火车票.
• Qu’est-ce que je dois faire? 我该做什么?
• Tu dois partir? 你必须走了吗?

savoir 与 connaître 的现在时

savoir

savoir 的变位

用法:

• 接 avec qui, que, pourquoi, quand, où, comment, …
  • Je sais où il habite. 我知道他住在哪.
  • Vous savez quand il arrive? 您知道他什么时候到吗?
  • Tu sais qu’il est marié? 你知道他结婚了吗?
• 接不定式
  • Je sais conduire. 我会开车.
  • Il ne sait pas nager. 他不会游泳.
• 单独作回答
  • Où est Guillaume? Guillaume 在哪?
  • Je ne sais pas! 我不知道!
  • Agathe travaille à Paris. Agathe 在巴黎工作.
  • Oui, je sais! 是的,我知道!

Attention

不要说 “je connais que”, 要说 “je sais que”.

connaître

connaître 的变位

用法:

• 地点
  • Je connais un bon restaurant. 我知道一家好餐厅.
  • Il connaît bien l’Amérique latine. 他很了解拉丁美洲.
  • Tu connais Fontainebleau? 你认识枫丹白露吗?
• 人
  • Vous connaissez Virginie? 您认识 Virginie 吗?
  • Je ne connais pas ce cinéaste. 我不认识这位电影导演.

用 quel(le)(s) 提问

• (阳性单数) Quel livre est-ce que tu lis?
• (阴性单数) Quelle ville est-ce que tu connais?
• (阳性复数) Quels plats est-ce que tu préfères?
• (阴性复数) Quelles fleurs est-ce que tu achètes?
• À quelle heure est-ce qu’il arrive?
• Dans quel village est-ce qu’ils habitent?
• Pour quelle société est-ce qu’il travaille?
• Avec quels collègues est-ce que tu déjeunes?

物主形容词 (Les adjectifs possessifs) 与指示形容词 (Les adjectifs démonstratifs)

物主形容词

用法:

• 物主形容词与其后面的名词相同
  • le sac -> mon sac, ton sac, son sac, …
  • la voiture -> ma voiture, ta voiture, sa voiture, …
  • les problèmes -> mes problèmes, tes problèmes, ses problèmes, …
  • **C’**est son anorak. (=c’est l’anorak de Pierre, ou l’anorak de Florence)
  • **C’**est sa voiture. (=c’est la voiture de Pierre, ou la voiture de Florence)
• 当用 “on” 替代 “nous” 时,物主形容词用 notre 与 nos
  • On prend notre sac et nos clés.

Tip

当阴性单数名词以元音或哑音 h 开头时,用 “mon, ton, son” 替代 “ma, ta, sa”

• ma amie -> mon amie
• ta idée -> ton idée
• sa opinion -> son opinion

指示形容词

用法:

• 指示形容词与其后面的名词相同
  • le pantalon -> ce pantalon
  • la jupe -> cette jupe
  • les pantalons -> ces pantalons
  • les jupes -> ces jupes
• 当阳性单数名词或其形容词以元音或哑音 h 开头时, “ce” 变为 “cet”
  • un appartement -> cet appartement, cet autre appartement
  • un hôtel -> cet hôtel
  • un accident -> cet accident, cet horrible accident

数量的表达

一定数量,未指明

用法:

• du/pas de + 阳性单数名词
  • le pain -> du pain, pas de pain
  • le beurre -> du beurre, pas de beurre
  • le poulet -> du poulet, pas de poulet
• de la/pas de + 阴性单数名词
  • la confiture -> de la confiture, pas de confiture
  • la sauce -> de la sauce, pas de sauce
• de l’/pas d’ + 以元音或哑音 h 开头的名词
  • l’eau -> de l’eau, pas d’eau
  • l’huile -> de l’huile, pas d’huile
• des/pas de + 复数名词
  • les céréales -> des céréales, pas de céréales
  • les fruits -> des fruits, pas de fruits

特定数量

用法:

• 计量单位 + de + 名词
  • un kilo de pommes de terre 一千克土豆
  • un kilo **d’**oranges 一千克橙子
  • 300 grammes de cerises 300克樱桃
  • un litre de lait 一升牛奶
  • un litre **d’**huile 一升油
  • un tube de dentifrice 一支牙膏
  • un pot de confiture 一罐果酱
  • un paquet de biscuits 一包饼干
  • une boîte de petits pois 一瓶豌豆
  • une bouteille **d’**eau 一瓶水
• 程度副词 + de + 名词
  • trop de sucre 太多糖
  • beaucoup de problèmes 很多问题
  • beaucoup **d’**amis 很多朋友
  • un peu de crème 一点奶油
• 数词 + 名词
  • quelques tomates 几个番茄
  • trois ou quatre oranges 三四个橙子

Tip

de + a, e, i, o, u, y, h = d’a, e, i, o, u, y, h

形容词比较级与最高级

比较级 (le comparatif)

用法:

• plus + 形容词或副词 + que
  • Marseille est plus grand qu’Avignon. Marseille 比 Avignon 更大.
  • Lise parle plus clairement que Frédéric. Lise 说话比 Frédéric 更清楚.
  • Ce gâteau est meilleur que l’autre. 这个蛋糕比另一个更好吃.

    Attention

    plus bien = mieux

    plus bon = meilleur

• 动词 + plus que
  • Alain travaille plus que son collègue. Alain 工作比他的同事多.
  • Michel joue du piano mieux que moi. Michel 弹钢琴比我好.
• plus de + 名词 + que
  • J’ai plus de travail qu’avant. 我现在的工作比以前多了.
  • Clémentine a plus d’amis que Christine. Clémentine 的朋友比 Christine 多.
• moins + 形容词或副词 + que
  • Avignon est moins grand que Marseille. Avignon 不如 Marseille 大.
  • Henri téléphone moins souvent que Benoît. Henri 打电话不如 Benoît 频繁.
• 动词 + moins que
  • Elle fume moins qu’avant. 她抽烟比以前少了.
• moins de + 名词 + que
  • Ils ont moins d’argent qu’avant. 他们的钱比以前少了.
  • Léa fait moins de voyages qu’Angélique. Léa 旅行次数不如 Angélique 多.
• aussi + 形容词或副词 + que
  • Jeanne est aussi jolie que Viviane. Jeanne 和 Viviane 一样漂亮.
  • La Bourgogne est aussi belle que la Bretagne. Bourgogne 和 Bretagne 一样美.
  • Frank joue aussi bien de la flûte que Cédric. Frank 吹长笛和 Cédric 一样好.
• 动词 + autant que
  • Il travaille autant que sa femme. 他工作和他妻子一样多.
• autant de+ 名词 + que
  • Luc a autant de clients que l’année dernière. Luc 的客户和去年一样多.
  • Il y a autant de touristes que d’habitude. 游客和往常一样多.

Tip

我们可以加程度修饰语:

un peu plus …, beaucoup moins …

最高级 (le superlatif)

用法:

• le plus, la plus, les plus
  • Ma ville est la plus belle ville du monde! 我的城市是世界上最美丽的城市!
  • Victor Hugo est l’écrivain français le plus connu. Victor Hugo 是最著名的法国作家.
• le moins, la moins, les moins
  • Ce billet d’avion est le moins cher. 这张机票是最便宜的.
  • L’exercice n°15 est le moins difficile. 第十五题是最简单的.

其他比较结构

• Comme son père, David est grand. 像他父亲一样, David 很高.
• Je fais comme toi, je prends un café. 我跟你一样,我也来杯咖啡.

代词式动词 (les verbes pronominaux) 的现在时

代词式动词的结构

所有代词式动词由代词与动词组成: se lever, se préparer, s’habiller. 其变位与动词相同.

se coucher 的变位:

Tip

me, te, se + a, e, i, o, u, y, h = m’, t’, s’ + a, e, i, o, u, y, h

自反代词式动词

我们对自己实施行为.

比较:

• laver: Je lave la voiture. 我洗车. -> se laver: Je me lave. 我洗澡.
• coucher: Je couche le bébé à 19 heures. 我晚上 7 点把宝宝哄睡. -> se coucher: Je me couche à 23 heures. 我晚上 11 点睡觉.

相互代词式动词

两人互相实施行为.

比较:

• aimer: Christian aime Anne. Christian 爱 Anne. -> s’aimer: Christian et Anne **s’**aiment. Christian 和 Anne 相爱.
• téléphoner: Je téléphone à Michel. 我给 Michel 打电话. -> se téléphoner: Michel et moi, nous nous téléphonons tous les jours. 我和 Michel 天天打电话.

其他代词式动词

• se souvenir de: Je me souviens de cette soirée. 我记得那个夜晚.
• se moquer de: Il se moque de moi. 他嘲笑我.

常用代词式表达

• Ça (ne) se dit (pas). 这话(不)能说.
• Ça (ne) se fait (pas). 这个(不)合适.
• Comment est-ce que ça s’écrit? 这个词怎么写?
• Comment est-ce que ça se prononce? 这个怎么发音?
• Comment est-ce que ça se dit, en français? 这个用法语怎么说?
• Comment est-ce que ça se lave? 这个怎么洗?
• Ça se lave à la main. 这个要手洗.
• Comment est-ce que ça se mange? 这个怎么吃?
• Ça se mange chaud. 这个要热着吃.

复杂否定句 (la négation complexe)

• ne + 动词 + pas
  • Je ne comprends pas du tout! 我完全不明白!
  • Il ne parle pas un mot de français. 他一句法语都不会说.
• ne + 动词 + plus
  • Je ne sais plus. 我不记得了.
  • Il ne joue plus au rugby. 他不再打橄榄球了.
  • Tu fumes toujours? 你还抽烟吗?
  • Je ne fume plus. 不,我不抽了.
• ne + 动词 + jamais
  • Vous allez quelquefois au théâtre? 你们有时去剧院吗?
  • Non, nous **n’**allons jamais au théâtre. 不,我们从不去.
  • Il téléphone de temps en temps à son oncle? 他偶尔给叔叔打电话吗?
  • Non, il ne téléphone jamais à son oncle. 不,他从没打过.
• ne + 动词 + personne
  • Elle connaît quelqu’un? 她认识什么人吗?
  • Non, elle ne connaît personne ici. 不,她在这里谁也不认识.
  • Tu vois quelqu’un? 你看到有人吗?
  • Non, je ne vois personne. 不,我没看到任何人.
• ne + 动词 + rien
  • Il sait quelque chose? 他知道点什么吗?
  • Non, il ne sait rien. 不,他什么都不知道.
  • Elle mange quelque chose de bon? 她吃点好吃的了吗?
  • Non, elle ne mange rien de bon! 不,她什么都没吃!
• ne + 动词 + aucun(e) + 名词
  • Elle a des amis? 她有朋友吗?
  • Non, elle **n’**a aucun ami, ici. 不,她在这里一个朋友都没有.
  • Ils ont des problèmes? 他们有问题吗?
  • Non, ils **n’**ont aucun problème. 不,他们一点问题都没有.
• personne ne + 动词
  • Personne ne sait où il est. 没人知道他在哪.
  • Personne ne m’aime! 没人爱我!
• rien ne + 动词
  • **Rien n’**est possible. 什么都不可能.
  • Rien ne marche! 什么都不管用!
• 组合表达
  • Je ne vois plus jamais. 我再也不想见到.
  • Il ne boit jamais rien.她从不喝任何东西.

最近将来时 (le futur proche)

最近将来时的结构

最近将来时由现在时的 “aller” 与不定式构成.

partir 的变位

代词式动词

se lever 的变位

用法

• 表达意图或相对确定的决定
  • Nous allons réserver des billets pour le concert. 我们打算订音乐会的票.
  • Ils vont déménager. 他们要搬家了.
  • Je ne vais pas inviter Barbara encore une fois, pas question! 我不会再邀请 Barbara 一次,绝对不行!
• 动作可以是即时的,也可以不是.无论如何,这都被认为是极为可能甚至确定的
  • (在火车站) “Attention, le train va partir dans quelques instants!” “注意,火车几分钟后就要开了!”
  • Ce soir, nous allons manger du poulet. 今晚我们要吃鸡肉.
  • C’est décidé, je vais faire de la gymnastique trois fois par semaine! 决定了,我每周要做三次体操.
  • L’année prochaine, il va prendre sa retraite. 明年他要退休了.
• 可以用作命令式 (l’impératif)
  • Nous allons maintenant travailler sur un nouveau projet. 我们现在开始着手一个新项目.

不定代词

• tout (不变形)
  • Il sait tout! 他什么都知道!
  • Il comprend tout! 他什么都懂!
  • Tout va bien! 一切顺利!
  • Tout est prêt! 一切就绪!
• tout le, toute la, tous les, toutes les
  • Tout le monde comprend. 所有人都明白.
  • Toute la ville est décorée. 整座城市都被装饰了.
  • Tous les voisins sont en vacances. 所有邻居都在度假.
  • Toutes les maisons sont blanches. 所有房子都是白色的.
• quelques
  • J’ai quelques amis ici. 我在这里有一些朋友.
  • Ils vont acheter quelques livres. 他们要买几本书.
• certain(e)s … d’autres
  • Certains font du sport, d’autres font de la musique. 有些人做运动,其他人搞音乐.
  • Dans certaines villes, il y a une salle de concert. Dans d’autres, il n’y a pas de salle. 有些城市里有音乐厅,其他没有.
• plusieurs
  • Vous avez des amis étrangers?你有外国朋友吗?
  • Oui, j’ai plusieurs amis étrangers. 是的,我有好几个外国朋友.
  • Elle va souvent au cinéma? 她经常去电影院吗?
  • Oui, elle va au cinéma plusieurs fois par mois. 是的,她每个月去好几次.
• quelqu’un
  • Je connais quelqu’un qui habite à San Francisco. 我认识一个住在旧金山的人.
  • Est-ce que quelqu’un parle le polonais, ici? 这里有人会说波兰语吗?
  • Non, personne ne parle le polonais. 不,没人会说波兰语.
• quelque chose
  • Je cherche quelque chose de joli pour ma chambre. 我在找些漂亮的东西装饰我的房间.
• quelque part
  • Où est le restaurant? 餐厅在哪里?
  • Quelque part dans le centre-ville. 在市中心的某个地方.
• chaque
  • Chaque élève a un dictionnaire. 每个学生都有一本字典.
  • Quand je suis en vacances, j’envoie chaque fois des cartes postales.当我度假时,我每次都寄明信片.

副词 (adverbe)

一些动词

副词修饰动词(有时 “être” 除外).限定形容词修饰名词或动词 “être” 的主语.

• bon/bien
  • Nous avons une bonne idée. 我们有一个好主意.
  • Il travaille bien. 他工作得很好.
  • Il parle bien japonais. 他日语说得很好.
  • Nous allons bien manger. 我们要好好吃一顿.

    Tip

    “c’est bon” 表示“味道好”.

    “c’est bien” 表示“说得好”或“做的好”

• mauvais/mal
  • Nous avons une mauvaise idée. 我们有一个坏主意.
  • Il travaille mal. 他工作得不好.
  • Je parle mal l’allemand. 我德语说得不好.
  • Ils vont mal comprendre. 他们会误解.

由 -ment 构成副词

• 副词通常由形容词的阴性形式构成.
  • lent -> lente -> lentement
  • parfait -> parfaite -> parfaitement
  • franc -> franche -> franchement
• 当形容词阴性形式不变或以元音结尾
  • poli -> poliment
  • vrai -> vraiment
  • libre -> librement
• 以 -ent 结尾的形容词,其副词以 -emment 结尾
  • récent -> récemment
  • fréquent -> fréquemment
• 以 -ant 结尾的形容词,其副词以 -amment 结尾
  • courant -> couramment
• 其余副词
  • vite = rapidement

复合过去时 (le passé composé) (第一组动词以及 “avoir”)

复合过去时的结构

对于大多数第一组动词,复合过去时的结构为:

助动词 “avoir” + 过去分词

trouver 的变位

Tip

不定式 “trouver” 与过去分词 “trouvé” 读音相同.

Tip

可以用 jamais, rien 等替代 pas 来加强否定.

一些例子

• parler -> j’ai parlé
• déjeuner -> déjeuné
• habiter -> habité
• aider -> aidé
• jouer -> joué
• étudier -> étudié

复合过去时的用法

• 过去一系列连续发生的动作
  • Hier, j’ai travaillé, j’ai déjeuné avec des collègues, j’ai téléphoné à ma mère, et le soir, j’ai dîné au restaurant. 昨天,我工作了,和同事吃了午饭,给妈妈打了电话,晚上在餐厅吃了晚饭.
• 带有具体时间,时刻或持续时间的动作
  • La semaine dernière, nous avons acheté une voiture. 上周,我们买了一辆车
  • En 1999, nous avons visité Chypre. 1999年,我们去了塞浦路斯.
  • Ce matin, j’ai parlé avec Michel pendant une heure. 今天早上,我和 Michel 聊了一个小时.

复合过去式(一些第二组和第三组的动词)

结构与第一组动词相同,但过去分词形式不规则.

finir 的变位

prendre 的变位

Tip

相同的变位: comprendre, apprendre.

faire 的变位

Tip

相同的变位: refaire, défaire.

dire 的变位

j’ai dit, je n’ai pas dit

mettre 的变位

j’ai mis, je n’ai pas mis

Tip

相同的变位: promettre -> j’ai promis

écrire 的变位

j’ai écrit, je n’ai pas écrit

Tip

相同的变位: décrire -> décrit

ouvrir 的变位

j’ai ouvert, je n’ai pas ouvert

Tip

相同的变位:

• offrir -> j’ai offert
• découvrir -> j’ai découvert
• souffrir -> j’ai souffert

复合过去时(其他的第三组动词)

以 -oir, -oire 结尾的第三组动词

其过去分词以 -u 结尾.

voir 的变位

• devoir -> j’ai dû
• avoir -> j’ai eu
• recevoir -> j’ai reçu
• pouvoir -> j’ai pu
• vouloir -> j’ai voulu
• boire -> j’ai bu

Tip

il y a -> il y a eu

其他的第三组动词

其过去分词以 -u 结尾.

• lire -> j’ai lu
• tenir -> j’ai tenu
• obtenir -> j’ai obtenu

以 -dre 结尾的第三组动词

其过去分词以 -du 结尾

perdre 的变位

• attendre -> j’ai attendu
• répondre -> j’ai répondu
• entendre -> j’ai entendu
• vendre -> j’ai vendu

复合过去时(使用动词 “être” 的动词)

由助动词 “être” 构成的复合过去时

aller 的变位

这里将过去分词视为限定形容词,因此需要根据性与数变形.

• Pierre est allé au cinéma. Pierre 去了电影院.
• Florence est allée en Normandie. Florence 去了 Normandie
• Pierre et Florence sont allés à Caen. Pierre 和 Florence 去了 Caen.

Tip

对于 “vous”, 有四种可能的情形.

• Pierre, vous êtes allé au cinéma? Pierre, 您去电影院了吗?
• Florence, vous êtes allée au cinéma? Florence, 您去电影院了吗?
• Florence et Barbara, vous êtes allées au cinéma? Florence 和 Barbara, 您们去电影院了吗?
• Pierre et Florence, vous êtes allés au cinéma? Pierre 和 Florence, 您们去电影院了吗?

Tip

当 “on” 替代 “nous” 时,过去分词仍用复数.

Henri et moi, on est allés au théâtre. Henri 和我, 我们去剧院了.

其他由 “être” 构成的动词

• venir -> je suis venu(e)
• partir -> je suis parti(e)
• arriver -> je suis arrivé(e)
• entrer -> je suis entré(e)
• sortir -> je suis sorti(e)
• monter -> je suis monté(e)
• descendre -> je suis descendu(e)
• retourner -> je suis retourné(e)
• passer -> je suis passé(e)
• tomber -> je suis tombé(e)
• rester -> je suis resté(e)
• naître -> je suis né(e)
• mourir -> je suis mort(e)

Attention不要混淆

• Vous êtes passé à la poste? 您去邮局了吗?
• Vous avez passé une bonne journée? 您度过了愉快的一天吗?

复合动词保持相同的结构.

• Je suis revenu(e) tard. 我很晚才回来.
• Il est reparti à 17 heures. 他17点又出发了.
• Elle est rentrée à minuit. 她午夜回来了.

复合过去时(代词式动词)

由助动词 “être” 构成的复合过去时

s’occuper 的变位

拼写通常与上一节一样,但也有例外.

• Fanny, vous vous êtes reposée? Fanny, 您休息了吗?
• Maurice et Henriette, vous vous êtes installés dans votre nouvel? Maurice 和 Henriette, 您们搬进新公寓了吗?
• Vous vous êtes téléphoné? 您们互相打电话了吗?
• Nous nous sommes écrit. 我们互相写信了.

Tip

当 “on” 替代 “nous” 时,过去分词仍用复数.

Véronique et moi, on s’est levés tôt, ce matin.

一些第一组动词

• s’installer -> je me suis installé(e)
• se préparer -> je me suis préparé(e)
• se baigner -> je me suis baigné(e)
• se lever -> je me suis levé(e)
• se passer -> je me suis passé(e)

一些第三组动词

• s’entendre -> je me suis entendu(e)
• s’asseoir -> je me suis assis(e)
• se perdre -> je me suis perdu(e)
• se sentir -> je me suis senti(e)
• se servir de -> je me suis servi(e)
• se souvenir de -> je me suis souvenu(e)

用法:

• Manon s’est assise à côté de Delphine. Manon 坐在 Delphine 旁边.
• Isabelle et Quentin se sont perdus dans la forêt. Isabelle 和 Quentin 在森林里迷路了.

地点介词 (les prépositions de lieu)

• en + 阴性国家名或大洲名
  • Elle habite en Grèce. 她住在希腊.
  • Il voyage en Colombie et en Argentine. 他去哥伦比亚和阿根廷旅行.
  • Ils travaillent en France. 他们在法国工作.
  • Il va en Asie. 他去亚洲.
• au(aux) + 阳性国家名
  • Ils habitent au Danemark, au Japon, au Portugal, au Canada, aux États-Unis, … 他们住在丹麦,日本,葡萄牙,加拿大,美国,…
• à + 城市
  • J’habite à Toulouse. 我住在 Toulouse.
  • Ils travaillent à Berlin. 他们在 Berlin 工作.
  • Il est à Chicago. 他在 Chicago.
  • Elle va à Casablanca. 她去 Casablanca.
• de
  • L’avion arrive de Saint-Pétersbourg. 飞机从 Saint-Pétersbourg 抵达.
  • Ce vase vient de Venise. 这个花瓶来自 Venise.
  • Mes amis sont de Bucarest. 我的朋友们来自 Bucarest.
• à + 地点
  • Je vais à la poste, à la banque, au cinéma, au restaurant, au théâtre, à l’opéra, … 我去邮局,银行,电影院,餐厅,剧院,歌剧院,…
• dans + 名词
  • Je suis dans ma chambre. 我在我的房间里.
  • Elle travaille dans un grand magasin. 她在一家大商场工作.
  • Les clés sont dans mon sac. 钥匙在我的包里.
  • Il lit dans le train, dans le métro. 他在火车上,地铁里看书.
  • Je suis dans mon lit. 我躺在床上.
• sur + 名词
  • Je pose le livre sur la table, sur l’étagère. 我把书放在桌子上,架子上.
  • Je pose mon manteau sur le lit. 我把外套放在床上.
• contre
  • J’ai placé le canapé contre le mur. 我把沙发靠墙放着.
• chez + 名词
  • Je vais chez des amis, chez Paul et Virginie. 我去朋友家, Paul 和 Virginie 家.
  • Chez mes parents, il y a un piano. 在我父母家,有一架钢琴.

简单将来时 (le futur simple)

简单将来时的结构

对于第一组动词,第二组动词和很多第三组动词,我们用不定式词根+将来时词尾.

partir 的变位

Tip

将来时的词尾永远不变.

• oublier -> j’oublierai
• manger -> je mangerai
• finir -> je finirai

对于某些以 -re 结尾的动词,去掉不定式的 “e”.

• dire -> je dirai
• attendre -> j’attendrai

词根不规则的动词

有些动词的简单将来时词根不规则,但词尾保持不变.

• être -> je serai
• avoir -> j’aurai
• faire -> je ferai
• aller -> j’irai
• venir -> je viendrai
• devoir -> je devrai
• voir -> je verrai
• pouvoir -> je pourrai
• savoir -> je saurai
• recevoir -> je recevrai
• envoyer -> j’enverrai
• c’est -> ce sera
• il y a -> il y aura

简单将来时(用法)

简单将来时的用法

• 表达相对不确定的未来
  • Ce soir, je téléphonerai peut-être à mon ami. 今晚我可能会给我朋友打电话.
  • Nous irons probablement dans les Pyrénées. 我们很可能去比利牛斯山.
  • Elle prendra peut-être un taxi. 她也许会打出租车.
• 常用于以下场景
  • 天气预报: Il fera beau, il y aura des nuages, des averses. 天气会很好,会有云,阵雨.
  • 占星,通灵: Vous partirez en voyage, vous serez riche et célèbre. 你将去旅行,你会变得富有且出名.
  • 媒体: Le Premier ministre rencontrera, annoncera. 首相将会见,宣布.
  • 招聘广告: Vous serez responsable d’une équipe de vingt personnes. 您将负责一个二十人的团队.

简单将来时搭配的句型

• si + 现在时
  • Si j’ai le temps, j’irai au cinéma. 如果我有时间,我就去看电影.
  • Si les enfants sont malades, nous ne partirons pas vendredi soir. 如果孩子们生病了,我们周五晚上就不出发了.
  • Ils prendront le bus si la voiture ne marche pas. 如果车坏了,他们就坐公交车.
• quand + 简单将来时
  • Quand nous serons en vacances, nous irons à la mer. 当我们度假时,我们将去海边.
  • Quand je verrai Grégoire, je lui demanderai son opinion. 当我见到 Grégoire 时,我会问他意见.
• espérer que + 简单将来时
  • J’espère que nous pourrons partir. 我希望我们能出发.
• penser que + 简单将来时
  • Je pense que François sera très content de venir. 我认为 François 会很乐意来.
• croire + 简单将来时
  • Je crois qu’elle viendra avec son mari. 我相信她会和她丈夫一起来.

被动语态 (la voix passive)

被动语态的结构

动词 “être” + 过去分词 (+ par)

• 现在时: Des amis invitent Benoît et Mathilde. -> Benoît et Mathilde sont invités par des amis.
• 简单将来时: L’électricien réparera la lampe. -> La lampe sera réparée par l’électricien.
• 复合过去时: Bastien a pris cette photo. -> Cette photo a été prise par Bastien.
• 介词 “par” 后面跟一个名词(专有名词或普通名词) Cette photo a été prise par un grand photographe, par Doisneau. 这张照片是由一位著名摄影师 Doisneau 拍摄的.

Attention

不要说: Cette photo a été prise par moi.

我们必须回到主动语态: J’ai pris cette photo.

被动语态的用法

• 宾语比主语更重要
  • Le vaccin contre la rage a été découvert par Pasteur. 狂犬病疫苗是由 Pasteur 发现的.
• 当执行者未知或不重要时,可以省略 “par”
  • La maison a été construite en 1780. 这所房子建于 1780 年.
  • Le château sera fermé pour travaux. 城堡将因施工而关闭.
• 常用于以下场景:
  • 历史事件: Henri IV a été assassiné en 1610. Henri 四世于1610 年被刺杀.
  • 年代: La cathédrale a été construite au XIIe siècle. 这所大教堂建于 12 世纪.
  • 发明创造: L’écriture a été inventée en Mésopotamie. 文字是在美索不达米亚发明的.

配合规则

这里将过去分词视为限定形容词,因此需要根据性与数变形.

• Étienne et Guillaume sont invités. Étienne 和 Guillaume 被邀请了.
• Florence est invitée. Florence 被邀请了.
• Les rues ont été refaites. 街道被重新铺设了.

未完成过去时 (l’imparfait)

未完成过去时的结构

用动词现在时的 “nous” 形式的词根加上未完成过去时的词尾.

partir 的变位

现在时: nous partons

Tip

在未完成过去时中,词尾永远不变.

• finir: nous finissons -> je finissais
• venir: nous venons -> je venais
• faire: nous faisons -> je faisais
• avoir: nous avons -> je avais
• prendre: nous prenons -> je prenais
• aller: nous allons -> je allais
• dire: nous disons -> je disais
• recevoir: nous recevons -> je recevais

Tip

例外: être

• j’étais
• tu étais
• il/elle/on était
• nous étions
• vous étiez
• ils/elles étaient

常用短语

• il y a -> il y avait
• il n’y a pas -> il n’y avait pas
• c’est -> c’était
• ce n’est pas -> ce n’était pas

未完成过去式与复合过去时

未完成过去时的用法

• 过去的习惯或回忆
  • Quand j’étais jeune, je n’avais pas de voiture. 当我年轻时,我没有车.
  • J’allais chaque année en vacances dans les Alpes. 我每年都去阿尔卑斯山度假.
  • Il jouait toujours au football avec ses copains. 他总和朋友们踢足球.

    Tip

    常搭配表达频率的词: tous les ans, tous les mardis, en général, d’habitude, normalement, chaque année, …

• 描写背景或场景
  • Il pleuvait, il y avait du monde dans la rue, les gens se dépêchaient d’aller au bureau. 天正下着雨,街上人来人往,人们匆匆赶去上班.
• 表示心理状态或看法
  • Je pensais qu’il était malade. 我以为他病了.
  • Je croyais qu’elle avait des enfants. 我以为她有孩子.

未完成过去式与复合过去时的用法

复合过去式表达一种中断,一个特定的时刻,一种变化.

• Normalement, je partais au lycée à 8 heures. 通常我 8 点去高中.
• Une fois, exceptionnellement, je suis parti à 7 heures. 有一次,特别地,我 7 点就出发了.
• Avant, mes grands-parents n’avaient pas le téléphone. 以前,我的祖父母没有电话.
• En 1962, ils ont eu le téléphone. 在 1962 年,他们有了电话.
• Il regardait tranquillement la télévision quand, tout à coup, quelqu’un a sonné à la porte. 他正安静地看着电视,突然有人按门铃.
• Je faisais mes courses au supermarché quand j’ai rencontré Benoît. 我正在超市购物,遇到了 Benoît.

事件发生的具体时间不一定需要明确说明.

• J’ai vu le film. 我看了那部电影.
• Nous avons discuté de ce projet. 我们讨论了这个项目.

关系代词 (les pronoms relatifs)

关系代词用于连接两个分句,以避免重复.

Je connais une dame. Cette dame a emmené le petit garçon à Paris. 我认识一位女士.这位女士带小男孩去了巴黎.-> Je connais la dame qui a emmené le petit garçon à Paris. 我认识那位带小男孩去巴黎的女士.

qui

作主语,指人或物.

• Ce sont mes parents qui ont acheté ce livre. 是我的父母买了这本书.
• Voici le téléphone qui ne marche pas. 这就是那部坏掉的电话.
• J’ai visité un château qui a été construit en 1620. 我参观了一座建于 1620 年的城堡.

que

作直接宾语,指人或物.

• Voici le livre que nous avons acheté. 这是我们买的书.
• C’est **l’appartement qu’**ils ont choisi. 这就是他们选的公寓.
• Ce sont **les amis qu’**Amélie va inviter samedi. 这就是 Amélie 周六要邀请的朋友.
• C’est **le disque qu’**Yves m’a offert. 这是 Yves 送我的唱片.

Tip

que + a, e, i, o, u, y, h = qu’a, e, i, o, u, y, h

où

• 表示地点
  • C’est la maison où le grand-père est né. 这是祖父出生的房子.
  • Voici la ville où nous avons acheté un appartement. 这就是我们买公寓的城市.
• 表示时间
  • 1980, c’est l’année où j’ai commencé à travailler. 1980 年是我开始工作的那一年.
  • Septembre, c’est le mois où je prends des vacances. 九月是我度假的月份.
  • Il est venu le jour où nous sommes partis. 他是在我们离开那天来的.

时间的表达

• depuis + 动词现在时
  • Depuis quand est-ce que tu habites à Nice? 你从什么时候起住在 Nice?
  • J’habite à Nice depuis trois ans. 我住在 Nice 已经三年了.
  • Depuis combien de temps est-ce qu’ils sont mariés? 他们结婚多久了?
  • Ils sont mariés depuis vingt ans. 他们结婚二十年了.
  • Depuis leur mariage, ils habitent à Dijon. 自从结婚后,他们就住在 Dijon.
• pendant + 动词复合过去时
  • Pendant combien de temps est-ce qu’ils ont habité en Allemagne? 他们在德国住了多久?
  • Ils ont habité en Allemagne pendant trois ans. 他们在德国住了三年.
  • Ils sont partis en vacances pendant huit jours. 他们去度假了八天.
  • Elle a été mariée pendant dix ans. 她曾结婚十年.
• il y a + 动词复合过去时
  • Elle est partie il y a cinq minutes. 她五分钟前就离开了.
  • Ils sont arrivés il y a trois jours. 他们三天前到了.
  • Mes parents m’ont écrit il y a quelques jours. 我父母几天前给我写了信.
  • J’ai vu ce film il y a longtemps. 我很久以前看过这部电影.
• dans + 动词现在时或将来时
  • Je reviens dans cinq minutes. 我五分钟后再回来.
  • Nous serons là dans trois mois. 我们三个月后会到那里.
  • Ils partiront dans un an. 他们一年后出发.
• pour + 动词现在时或将来时
  • J’ai un traitement médical pour trois semaines. 我有一个为期三周的医疗疗程.
  • Ils partent en vacances pour une semaine. 他们要去度假一周.
• en + 动词现在时/过去时/将来时
  • J’ai fait cet exercice en dix minutes. 我用了十分钟完成这个练习.
  • Il fait la vaisselle en cinq minutes. 他洗碗只要五分钟.
• avant + 名词
  • Avant la fête, nous décorons la maison. 在派对之前,我们装饰房子.
  • Les enfants rentrent à la maison après les cours. 孩子们下课后回家.

人称代词宾语 (les pronoms personnels compléments)(me, te, nous, vous)

代词 me, te, nous, vous 可用作直接宾语或间接宾语.

Tip

me, te + a, e, i, o, u, y, h = m’, t’ + a, e, i, o, u, y, h

简单时态

复合时态

搭配半助动词

人称代词 (les pronoms personnels)(lui, leur, le, la, les)

第三人称代词宾语

直接宾语结构用 le, la, les, 指代人或事.

Tip

le, la + a, e, i, o, u, y, h = l’ + a, e, i, o, u, y, h

• Tu vois Paul?
  • Oui, je le vois.
  • Non, je ne le vois pas.
• Tu vois le livre?
  • Oui, je le vois.
  • Non, je ne le vois pas.
• Tu as vu Paul/le livre?
  • Oui, je **l’**ai vu.
  • Non, je ne **l’**ai pas vu.
• Il regarde Patricia?
  • Oui, il la regarde.
  • Non, il ne la regarde pas.
• Il regarde la télévision?
  • Oui, il la regarde.
  • Non, il ne la regarde pas.
• Il a regardé Patricia/la télévision?
  • Oui, il **l’**a regardée.
  • Non, il ne **l’**a pas regardée.
• Vous voyez vos amis?
  • Oui, je les vois.
  • Non, je ne les vois pas.
• Vous voyez les matchs?
  • Oui, je les vois.
  • Non, je ne les vois pas.
• Vous avez vu les matchs/vos amis?
  • Oui, je les ai vus.
  • Non, je ne les ai pas vus.

间接宾语结构用 lui, leur.

• Tu parles à Paul?
  • Oui, je lui parle.
  • Non, je ne lui parle pas.
• Vous parlez à Julie?
  • Oui, nous lui parlons.
  • Non, nous ne lui parlons pas.
• Tu as parlé à Paul/Julie?
  • Oui, je lui ai parlé.
  • Non, je ne lui ai pas parlé.
• Tu parles à Pierre et Paul?
  • Oui, je leur parle.
  • Non, je ne leur parle pas.
• Vous parlez à Frank et Julie?
  • Oui, nous leur parlons.
  • Non, nous ne leur parlons pas.
• Tu as parlé à tes amis?
  • Oui, je leur ai parlé.
  • Non, je ne leur ai pas parlé.

搭配半助动词

• Je voudrais lui parler.
• Nous devons leur expliquer.
• Il ne va pas le voir.
• Je n’ai pas pu **l’**appeler.

人称代词 (les pronoms personnels)(en, y)

代词 en

代替 un, une, des, du, de la, de l’.

• Il y a du lait?
  • Oui, il y en a dans le réfrigérateur.
  • Oui, il y en a deux bouteilles.
  • Non, il n’y en a pas.
• Ils ont des enfants?
  • Oui, ils en ont deux.
  • Non, ils n’en ont pas.
• Elle a acheté un livre?
  • Oui, elle en a acheté … un/deux/plusieurs/beaucoup …
  • Non, elle n’en a pas acheté.
• Il reste de la confiture?
  • Oui, il en reste … un peu/un pot …
  • Non, il n’en reste plus.

Attention

根据问题的不同,不正确的答案是荒谬或奇怪的!

• Vous avez des enfants?
  • Oui, j’en ai.
  • Oui, j’en ai trois.
• Vous avez du beurre?
  • Oui, j’en ai un.
  • Oui, j’en ai.
  • Oui, j’en ai un paquet/un peu.

搭配带 “de” 的动词.

• Vous parlez du film?
  • Oui, nous en parlons.
  • Non, nous n’en parlons pas.

代词 y

代替 à + 方向名词或 à/en + 地点名词.

• Vous allez à la banque?
  • Oui, j’y vais.
  • Non, je n’y vais pas.
• Ils sont en Bretagne?
  • Oui, ils y sont.
  • Non, ils n’y sont pas.

搭配带 “à” 的动词.

• Tu joues au football?
  • Oui, j’y joue.
  • Non, je n’y joue pas.

搭配半助动词

• Je vais en prendre.
• Nous ne pouvons pas en manger.
• Ils doivent en acheter.
• Elle va y aller.

命令式 (l’impératif)

命令式的结构

第一组动词去掉 -er, 加 -e(tu), -ons(nous), -ez(vous).

• Parler: Parle! Parlons! Parlez!
• Écouter: Écoute! Écoutons! Écoutez!

第三组动词使用对应人称的现在时

• Prendre: Prends! Prenons! Prenez!
• Faire: Fais! Faisons! Faites!
• Venir: Viens! Venons! Venez!
• Dire: Dis! Disons! Dites!

一些不规则动词

• Être: Sois! Soyons! Soyez!
• Avoir: Aie! Ayons! Ayez!
• Aller: Va! Allons! Allez!

否定形式

• Ne prends pas!
• Ne partez pas!
• **N’**achetons pas!

人称代词放在动词之后,用连字符连接.

• Demandez à vos parents!
  • Demandez-leur!
  • Ne leur demandez pas!
• Appelle ton ami!
  • Appelle-le!
  • Ne l’appelle pas!
• Prends du sucre!
  • Prends-en!
  • N’en prends pas!

用 moi 和 toi 替代 me 和 te.

• Parle-moi!
• Écoute-toi!

代词式动词

• s’asseoir
  • Assieds-toi!
  • Asseyons-nous!
  • Asseyez-vous!
  • Ne t’assieds pas!
  • Ne nous asseyons pas!
  • Ne vous asseyez pas!
• se lever
  • Lève-toi!
  • Levons-nous!
  • Levez-vous!
  • Ne te lève pas!
  • Ne nous levons pas!
  • Ne vous levez pas!

定理直线 $l: Ax + By + C = 0$ 与椭圆 $\Gamma: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 相切的充分必要条件是$$ A^2a^2 + B^2b^2 = C^2 $$

接下来我们给出三种证法.

法一

1. 若 $l$ 与 $\Gamma$ 相切,设切点为 $P(x_0, y_0)$.$\Gamma$ 在 $P$ 处的切线方程为 $\dfrac{x_0x}{a^2} + \dfrac{y_0y}{b^2} = 1$. 因此$$ \begin{cases} \dfrac{x_0}{a^2} = -\dfrac{A}{C} \\ \dfrac{y_0}{b^2} = -\dfrac{B}{C} \end{cases} $$解得$$ \begin{cases} x_0 = -\dfrac{Aa^2}{C} \\ y_0 = -\dfrac{Bb^2}{C} \end{cases} $$由 $P$ 在 $l$ 上知 $Ax_0 + By_0 + C = 0$, 代入知 $A^2a^2 + B^2b^2 = C^2$.
2. 若 $A^2a^2 + B^2b^2 = C^2$, 取点 $P(x_0, y_0)$, 其中$$ \begin{cases} x_0 = -\dfrac{Aa^2}{C} \\ y_0 = -\dfrac{Bb^2}{C} \end{cases} $$由$$ \dfrac{x_0^2}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2} = \dfrac{A^2a^4}{a^2C^2} + \dfrac{B^2b^4}{b^2C^2} = \dfrac{A^2a^2 + B^2b^2}{C^2} = 1 $$知点 $P$ 在 $\Gamma$ 上.进而 $P$ 处的切线方程为 $\dfrac{x_0x}{a^2} + \dfrac{y_0y}{b^2} = 1$.即 $-\dfrac{A}{C} x - \dfrac{B}{C} y = 1$, 亦即 $Ax + By + C = 0$.因此 $l$ 与 $\Gamma$ 相切.

综合 步骤 1 与 步骤 2, 定理得证.

注证明过程中运用了椭圆上一点处的切线公式 $\dfrac{x_0x}{a^2} + \dfrac{y_0y}{b^2} = 1$.

法二

作仿射变换 $x’ = \dfrac{x}{a}, y’ = \dfrac{y}{b}$, 则 $\Gamma’: x’^2 + y’^2 = 1$ 为单位圆,$l’: Aax’ + Bby’ + C = 0$, 则原点到 $l’$ 的距离为

$$ d = \dfrac{|C|}{\sqrt{A^2a^2 + B^2b^2}} $$

因此

$$ \begin{aligned} l \text{与} \Gamma \text{相切} & \iff l’ \text{与} \Gamma’ \text{相切} \\ & \iff d = 1 \\ & \iff A^2a^2 + B^2b^2 = C^2 \end{aligned} $$

定理得证.

法三

当 $l$ 过原点时,显然 $l$ 与 $\Gamma$ 相交,且 $A^2a^2 + B^2b^2 = C^2$.当 $l$ 不过原点时,考虑齐次化 $1 = -\dfrac{Ax + By}{C}$, 代入 $\Gamma$ 的方程得

$$ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = \dfrac{(Ax + By)^2}{C^2} $$

同除 $x^2$ 化简得

$$ (B^2a^2b^2 - a^2C^2) \left( \dfrac{y}{x} \right)^2 + (2ABa^2b^2) \left( \dfrac{y}{x} \right) + (A^2a^2b^2 - b^2C^2) = 0 $$

其判别式为

$$ \begin{aligned} \Delta & = (2ABa^2b^2)^2 - 4(B^2a^2b^2 - a^2C^2)(A^2a^2b^2 - b^2C^2) \\ & = 4A^2B^2a^4b^4 - 4(B^2a^2b^2 - a^2C^2)(A^2a^2b^2 - b^2C^2) \\ & = 4a^2b^2C^2(A^2a^2 + B^2b^2 - C^2) \end{aligned} $$

故 $l$ 与 $\Gamma$ 相切 $\iff \Delta = 0 \iff A^2a^2 + B^2b^2 = C^2$. 定理得证.

对于中心不在原点处的椭圆,我们有如下推广的定理.

定理 2直线 $l: Ax + By + C = 0$ 与椭圆 $\Gamma: \dfrac{(x - x_0)^2}{a^2} + \dfrac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1$ 相切的充分必要条件是$$ A^2a^2 + B^2b^2 = (Ax_0 + By_0 + C)^2 $$

对于双曲线,我们也有类似的定理.

定理 3直线 $l: Ax + By + C = 0$ 与双曲线 $\Gamma: \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 相切的充分必要条件是$$ A^2a^2 - B^2b^2 = C^2 $$

定理 2 与 定理 3 的证明留给读者思考.

This document demonstrates various mathematical formulas and symbols using LaTeX syntax in Markdown.

1. Inline Math

Simple inline equations: $E = mc^2$, $a^2 + b^2 = c^2$, and $\alpha + \beta = \gamma$.

The quadratic formula: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ solves $ax^2 + bx + c = 0$.

2. Display Math

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} , dx = \sqrt{\pi}$$

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$

$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$

3. Fractions & Roots

Inline: $\frac{1}{2}$, $\dfrac{a+b}{c+d}$

Nested: $\frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$

Square root: $\sqrt{x}$, Cube root: $\sqrt[3]{x}$

General: $\sqrt[n]{x^n + y^n}$

4. Superscripts & Subscripts

• Simple: $x^2$, $x_i$, $x_i^2$
• Multi-character: $e^{i\pi}$, $a_{ij}^{kl}$
• Nested: $x^{y^z}$, $a_{b_{c}}$

5. Greek Letters & Symbols

Lowercase

$\alpha$ $\beta$ $\gamma$ $\delta$ $\epsilon$ $\zeta$ $\eta$ $\theta$ $\iota$ $\kappa$ $\lambda$ $\mu$ $\nu$ $\xi$ $\pi$ $\rho$ $\sigma$ $\tau$ $\upsilon$ $\phi$ $\chi$ $\psi$ $\omega$

Uppercase

$\Gamma$ $\Delta$ $\Theta$ $\Lambda$ $\Xi$ $\Pi$ $\Sigma$ $\Upsilon$ $\Phi$ $\Psi$ $\Omega$

Common Symbols

$\infty$ $\nabla$ $\partial$ $\forall$ $\exists$ $\neg$ $\land$ $\lor$ $\oplus$ $\otimes$

6. Relations & Operators

Binary Operators

$+$ $-$ $\times$ $\div$ $\pm$ $\mp$ $\cdot$ $\ast$ $\star$ $\circ$ $\bullet$

Relations

$=$ $\neq$ $\approx$ $\equiv$ $\leq$ $\geq$ $\ll$ $\gg$ $\sim$ $\propto$

Set Theory

$\in$ $\notin$ $\subset$ $\subseteq$ $\supset$ $\cup$ $\cap$ $\emptyset$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Q}$ $\mathbb{C}$

Arrows

$\rightarrow$ $\leftarrow$ $\leftrightarrow$ $\Rightarrow$ $\Leftarrow$ $\Leftrightarrow$ $\mapsto$

7. Calculus

Derivatives

Inline: $\frac{dy}{dx}$, $\frac{d^2y}{dx^2}$, $f’(x)$, $\partial_t u$

Display:$$\frac{d}{dx}\left[\int_0^x f(t),dt\right] = f(x)$$

Integrals

Single: $\int f(x),dx$

Definite: $\int_a^b f(x),dx$

Double/Triple: $\iint_R f,dA$, $\iiint_V f,dV$

Contour: $\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$

8. Matrices & Arrays

Basic Matrix

$$A = \begin{pmatrix}a & b \\c & d\end{pmatrix}$$

Bracket Variants

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\quad\begin{Bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{Bmatrix}\quad\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$$

Large Matrix

$$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}$$

Augmented Matrix

$$\left[\begin{array}{cc|c}1 & 2 & 5 \\3 & 4 & 6\end{array}\right]$$

9. Piecewise Functions

$$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{if } x < 0 \\0 & \text{if } x = 0 \\\sqrt{x} & \text{if } x > 0\end{cases}$$

10. Aligning Equations

$$\begin{align}(a+b)^2 &= (a+b)(a+b) \\ &= a^2 + ab + ba + b^2 \\ &= a^2 + 2ab + b^2\end{align}$$

11. Special Functions

• Trigonometric: $\sin(x)$, $\cos(x)$, $\tan(x)$, $\sec(x)$
• Inverse: $\arcsin(x)$, $\arctan(x)$
• Hyperbolic: $\sinh(x)$, $\cosh(x)$, $\tanh(x)$
• Logarithmic: $\log(x)$, $\ln(x)$, $\log_b(x)$
• Special: $\Gamma(z)$, $\zeta(s)$, $\text{erf}(x)$

12. Accents & Diacritics

$\hat{x}$ $\check{x}$ $\tilde{x}$ $\bar{x}$ $\vec{x}$ $\dot{x}$ $\ddot{x}$ $\breve{x}$

13. Spacing & Formatting

Tight: $ab$
Small space: $a,b$
Medium: $a;b$
Large: $a\quad b$
Extra large: $a\qquad b$

14. Complex Example: Maxwell’s Equations

$$\begin{align}\nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\\nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\end{align}$$

15. Common Pitfalls & Tips

✅ Use \, before differentials: $\int f(x),dx$
✅ Use \left/\right for auto-sizing: $\left(\frac{a}{b}\right)$
✅ Use \text{} for words in math: $x_{\text{max}}$
❌ Avoid: $sin(x)$ → ✅ Use: $\sin(x)$

End of Math Formulas Test Document